bergstrom lachmann

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.10%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22plotly%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%5Btool.marimo.display%5D%0A%23%20theme%20%3D%20%22dark%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20imports()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20import%20plotly.io%20as%20pio%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%0A%20%20%20%20pio.templates.default%20%3D%20%22plotly_dark%22%0A%0A%20%20%20%20%23%20--%20Gentle%20dark-mode%20palette%20--%0A%20%20%20%20BLUE%20%3D%20%22%237dd3fc%22%20%20%20%20%20%20%23%20sky-300%0A%20%20%20%20AMBER%20%3D%20%22%23fcd34d%22%20%20%20%20%20%23%20amber-300%0A%20%20%20%20GREEN%20%3D%20%22%236ee7b7%22%20%20%20%20%20%23%20emerald-300%0A%20%20%20%20RED%20%3D%20%22%23fca5a5%22%20%20%20%20%20%20%20%23%20red-300%0A%20%20%20%20SLATE%20%3D%20%22%2394a3b8%22%20%20%20%20%20%23%20slate-400%0A%20%20%20%20PURPLE%20%3D%20%22%23c4b5fd%22%20%20%20%20%23%20violet-300%0A%20%20%20%20TEAL%20%3D%20%22%235eead4%22%20%20%20%20%20%20%23%20teal-300%0A%20%20%20%20BH_FILL%20%3D%20%22rgba(125%2C%20211%2C%20252%2C%200.08)%22%20%20%23%20subtle%20blue%20region%20fill%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20BH_FILL%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GREEN%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20PURPLE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SLATE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20make_subplots%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20title(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Bet-Hedging%20in%20Fluctuating%20Environments%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20Bergstrom%E2%80%93Lachmann%20Long-Run%20Fitness%20Model%0A%0A%20%20%20%20*An%20interactive%20exploration%20of%20why%20organisms%20diversify%20phenotypes%2C%0A%20%20%20%20and%20how%20information%20theory%20connects%20to%20evolutionary%20fitness.*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**Key%20references%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20Bergstrom%20%26%20Lachmann%20(2004)%2C%20%22Shannon%20information%20and%20biological%20fitness%22%0A%20%20%20%20-%20Donaldson-Matasci%2C%20Lachmann%20%26%20Bergstrom%20(2008)%2C%20%22Phenotypic%20diversity%20as%20an%20adaptation%20to%20environmental%20uncertainty%22%0A%20%20%20%20-%20Donaldson-Matasci%2C%20Bergstrom%20%26%20Lachmann%20(2010)%2C%20%22The%20fitness%20value%20of%20information%22%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20theory_setup(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20The%20Setup%0A%0A%20%20%20%20Consider%20an%20organism%20living%20in%20a%20**fluctuating%20environment**%20that%20switches%0A%20%20%20%20between%20two%20states%20each%20generation%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20**Environment%201**%20(prob%20%24p%24)%20%7C%20**Environment%202**%20(prob%20%241-p%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Phenotype%201**%20(prob%20%24x%24)%20%7C%20%24w_%7B11%7D%24%20%7C%20%24w_%7B12%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Phenotype%202**%20(prob%20%241-x%24)%20%7C%20%24w_%7B21%7D%24%20%7C%20%24w_%7B22%7D%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Assumptions%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20Each%20generation%2C%20the%20environment%20is%20drawn%20**i.i.d.**%20with%20probability%20%24p%24%20for%20env%201.%0A%20%20%20%20-%20A%20**genotype**%20produces%20phenotype%201%20with%20probability%20%24x%24%20and%20phenotype%202%20with%0A%20%20%20%20%20%20probability%20%241-x%24%20(stochastic%20phenotype%20switching%20%2F%20%22bet-hedging%22).%0A%20%20%20%20-%20Each%20phenotype%20is%20**matched**%20to%20one%20environment%3A%0A%20%20%20%20%20%20%24w_%7B11%7D%20%3E%20w_%7B21%7D%24%20(phenotype%201%20is%20better%20in%20env%201)%20and%20%24w_%7B22%7D%20%3E%20w_%7B12%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20(phenotype%202%20is%20better%20in%20env%202).%0A%20%20%20%20-%20All%20fitness%20values%20%24w_%7Bij%7D%20%3E%200%24%20(every%20phenotype%20has%20*some*%20fitness%20everywhere).%0A%0A%20%20%20%20**The%20question%3A**%20What%20mixing%20probability%20%24x%5E*%24%20maximizes%20long-run%20fitness%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20theory_arithmetic_vs_geometric(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Arithmetic%20vs.%20Geometric%20Mean%20Fitness%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20Wrong%20Answer%3A%20Arithmetic%20Mean%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20single%20generation%2C%20the%20expected%20fitness%20of%20the%20population%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathbb%7BE%7D%5BW%5D%20%3D%20p%5Cbigl%5Bx%5C%2C%20w_%7B11%7D%20%2B%20(1-x)%5C%2C%20w_%7B12%7D%5Cbigr%5D%20%2B%20(1-p)%5Cbigl%5Bx%5C%2C%20w_%7B21%7D%20%2B%20(1-x)%5C%2C%20w_%7B22%7D%5Cbigr%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20**linear%20in%20%24x%24**%2C%20so%20maximizing%20it%20always%20gives%20a%20**pure%20strategy**%0A%20%20%20%20(%24x%3D0%24%20or%20%24x%3D1%24).%20Arithmetic%20mean%20ignores%20the%20cost%20of%20variance%20%E2%80%94%20a%20strategy%0A%20%20%20%20that's%20great%20on%20average%20can%20still%20go%20extinct%20from%20one%20bad%20generation.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20Right%20Answer%3A%20Geometric%20Mean%20(Long-Run%20Growth%20Rate)%0A%0A%20%20%20%20After%20%24N%24%20generations%2C%20population%20size%20is%20a%20**product**%20of%20per-generation%20fitnesses%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BPop%7D_N%20%5Csim%20%5Cprod_%7Bt%3D1%7D%5E%7BN%7D%20W_t%24%24%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20law%20of%20large%20numbers%2C%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Clog(%5Ctext%7BPop%7D_N)%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BE%7D%5B%5Clog%20W%5D%24.%0A%20%20%20%20So%20the%20long-run%20exponential%20growth%20rate%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bg(x)%20%3D%20p%20%5Clog%5Cbigl%5Bx%5C%2C%20w_%7B11%7D%20%2B%20(1-x)%5C%2C%20w_%7B12%7D%5Cbigr%5D%20%2B%20(1-p)%20%5Clog%5Cbigl%5Bx%5C%2C%20w_%7B21%7D%20%2B%20(1-x)%5C%2C%20w_%7B22%7D%5Cbigr%5D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20a%20**strictly%20concave**%20function%20of%20%24x%24%20(log%20is%20concave%2C%20weighted%20sum%0A%20%20%20%20of%20concave%20functions%20is%20concave).%20Unlike%20the%20arithmetic%20mean%2C%20it%20can%20have%20an%0A%20%20%20%20**interior%20maximum**%20%E2%80%94%20a%20mixed%20strategy%20where%20%240%20%3C%20x%5E*%20%3C%201%24.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Key%20insight%3A**%20Natural%20selection%20maximizes%20geometric%20mean%20fitness%2C%20not%0A%20%20%20%20%3E%20arithmetic%20mean.%20This%20is%20mathematically%20identical%20to%20the%20**Kelly%20criterion**%0A%20%20%20%20%3E%20in%20gambling%20%2F%20portfolio%20theory.%0A%0A%20%20%20%20*Caveat%3A%20This%20relies%20on*%20***i.i.d.%20environments***%20*%E2%80%94%20each%20generation%20drawn%0A%20%20%20%20independently.%20With%20autocorrelated%20environments%20(realistic%20for%20most%20organisms)%2C%0A%20%20%20%20the%20optimal%20strategy%20can%20differ%20from%20the%20static%20geometric-mean%20maximizer.%0A%20%20%20%20The%202-phenotype%2C%202-environment%20setup%20is%20also%20a%20toy%20model%3B%20qualitative%20insights%0A%20%20%20%20(mixing%20can%20beat%20pure%20strategies)%20generalize%2C%20but%20the%20specific%20phase-transition%0A%20%20%20%20structure%20and%20closed-form%20solutions%20do%20not.*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20theory_phase_transition(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20The%20Phase%20Transition%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20First-Order%20Condition%0A%0A%20%20%20%20Setting%20%24g'(x)%20%3D%200%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bp(w_%7B11%7D%20-%20w_%7B12%7D)%7D%7Bx%5C%2C%20w_%7B11%7D%20%2B%20(1-x)%5C%2C%20w_%7B12%7D%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7B(1-p)(w_%7B22%7D%20-%20w_%7B21%7D)%7D%7Bx%5C%2C%20w_%7B21%7D%20%2B%20(1-x)%5C%2C%20w_%7B22%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20has%20a%20unique%20solution%20%24x%5E*%20%5Cin%20(0%2C1)%24%20**only%20when**%20the%20boundary%0A%20%20%20%20derivatives%20have%20opposite%20signs.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Critical%20Thresholds%0A%0A%20%20%20%20Define%3A%0A%20%20%20%20-%20%24a%20%3D%20w_%7B11%7D%20-%20w_%7B12%7D%20%3E%200%24%20(advantage%20of%20phenotype%201%20in%20env%201)%0A%20%20%20%20-%20%24b%20%3D%20w_%7B22%7D%20-%20w_%7B21%7D%20%3E%200%24%20(advantage%20of%20phenotype%202%20in%20env%202)%0A%20%20%20%20-%20%24%5CDelta%20%3D%20w_%7B11%7D%20w_%7B22%7D%20-%20w_%7B12%7D%20w_%7B21%7D%24%20(determinant%20of%20fitness%20matrix)%0A%0A%20%20%20%20The%20**critical%20probabilities**%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bp%5E%7B-%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bw_%7B12%7D%5C%2C%20b%7D%7B%5CDelta%7D%2C%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20p%5E%7B%2B%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bw_%7B11%7D%5C%2C%20b%7D%7B%5CDelta%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Three%20Regimes%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Region%20%7C%20Optimal%20Strategy%20%7C%20Interpretation%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24p%20%3C%20p%5E%7B-%7D%24%20%7C%20%24x%5E*%20%3D%200%24%20(pure%20phenotype%202)%20%7C%20Env%202%20dominates%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24p%5E%7B-%7D%20%3C%20p%20%3C%20p%5E%7B%2B%7D%24%20%7C%20%240%20%3C%20x%5E*%20%3C%201%24%20(**bet-hedging**)%20%7C%20Diversification%20pays%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24p%20%3E%20p%5E%7B%2B%7D%24%20%7C%20%24x%5E*%20%3D%201%24%20(pure%20phenotype%201)%20%7C%20Env%201%20dominates%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20transition%20is%20**continuous**%20(second-order)%3A%20%24x%5E*%24%20smoothly%20departs%20from%0A%20%20%20%20the%20boundary%20as%20%24p%24%20crosses%20a%20critical%20threshold.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Special%20Case%3A%20Diagonal%20Fitness%20(Kelly%20Criterion)%0A%0A%20%20%20%20When%20mismatched%20phenotypes%20have%20zero%20fitness%20(%24w_%7B12%7D%20%3D%20w_%7B21%7D%20%3D%200%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24g(x)%20%3D%20p%5Clog(x%5C%2C%20w_%7B11%7D)%20%2B%20(1-p)%5Clog((1-x)%5C%2C%20w_%7B22%7D)%24%24%0A%0A%20%20%20%20Optimal%3A%20%24x%5E*%20%3D%20p%24%20(**proportional%20betting**)%2C%20and%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24g%5E*%20%3D%20p%5Clog%20w_%7B11%7D%20%2B%20(1-p)%5Clog%20w_%7B22%7D%20%2B%20p%5Clog%20p%20%2B%20(1-p)%5Clog(1-p)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%3D%20p%5Clog%20w_%7B11%7D%20%2B%20(1-p)%5Clog%20w_%7B22%7D%20-%20H(p)%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24H(p)%24%20is%20the%20**Shannon%20entropy**%20of%20the%20environment.%20The%20entropy%20of%0A%20%20%20%20environmental%20uncertainty%20is%20directly%20subtracted%20from%20fitness!%0A%0A%20%20%20%20*This%20clean%20decomposition%20is*%20***specific%20to%20the%20fatal-mismatch%20case***%0A%20%20%20%20*(%24w_%7B12%7D%3Dw_%7B21%7D%3D0%24).%20When%20mismatched%20phenotypes%20retain%20partial%20fitness%0A%20%20%20%20(the%20general%20model%20above)%2C%20the%20relationship%20between%20entropy%20and%20fitness%0A%20%20%20%20loss%20is%20no%20longer%20an%20exact%20equality.%20The%20organism%20can%20partially%20buffer%0A%20%20%20%20against%20the%20wrong%20environment%2C%20weakening%20the%20entropy%20penalty.*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20theory_cue(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Environmental%20Cues%20and%20the%20Value%20of%20Information%0A%0A%20%20%20%20What%20if%20the%20organism%20can%20observe%20a%20**cue**%20%24c%24%20(imperfect%20signal%20about%20the%0A%20%20%20%20environment)%20before%20choosing%20its%20phenotype%3F%0A%0A%20%20%20%20With%20signal%2C%20the%20strategy%20becomes%20%24x(%5Cphi%20%5Cmid%20c)%24%20%E2%80%94%20phenotype%20probability%0A%20%20%20%20conditioned%20on%20the%20observed%20cue.%20The%20optimal%20growth%20rate%20with%20the%20cue%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24g_%7B%5Ctext%7Bcue%7D%7D%20%3D%20%5Csum_c%20p(c)%20%5Csum_e%20p(e%7Cc)%20%5Clog%5C!%5CBigl%5B%5Csum_%5Cphi%20x(%5Cphi%7Cc)%5C%2C%20w_%7B%5Cphi%2Ce%7D%5CBigr%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Theorem%20(Donaldson-Matasci%2C%20Bergstrom%20%26%20Lachmann%2C%202010)%3A**%0A%20%20%20%20When%20proportional%20betting%20is%20feasible%20(diagonal%20fitness)%2C%20the%20**fitness%20value%0A%20%20%20%20of%20information**%20equals%20the%20**mutual%20information**%20between%20cue%20and%20environment%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5CDelta%20g%20%3D%20g_%7B%5Ctext%7Bcue%7D%7D%5E*%20-%20g_%7B%5Ctext%7Bno%5C%2Ccue%7D%7D%5E*%20%3D%20I(E%3B%20C)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24I(E%3BC)%20%3D%20H(E)%20-%20H(E%7CC)%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20general%3A%20%24%5CDelta%20g%20%5Cleq%20I(E%3BC)%24%2C%20with%20equality%20when%20the%20organism%20can%20fully%0A%20%20%20%20exploit%20the%20signal%20(proportional%20betting).%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Deep%20connection%3A**%20In%20the%20diagonal%20(fatal-mismatch)%20case%2C%20a%20bit%20of%0A%20%20%20%20%3E%20information%20about%20the%20environment%20is%20worth%20exactly%20one%20bit%20of%20fitness%0A%20%20%20%20%3E%20(in%20log%E2%82%82%20units).%20This%20links%20Shannon's%20information%20theory%20directly%20to%0A%20%20%20%20%3E%20Darwinian%20fitness%20%E2%80%94%20but%20the%20exact%20equality%20requires%20proportional%20betting%0A%20%20%20%20%3E%20to%20be%20feasible%2C%20which%20needs%20zero-fitness%20mismatch%20entries.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20controls_header(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Interactive%20Exploration%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20model_selector(mo)%3A%0A%20%20%20%20model_choice%20%3D%20mo.ui.radio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22General%20(4%20fitness%20parameters)%22%3A%20%22general%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Symmetric%20(w%E2%82%81%E2%82%81%3Dw%E2%82%82%E2%82%82%2C%20w%E2%82%81%E2%82%82%3Dw%E2%82%82%E2%82%81%20%E2%80%94%202%20parameters)%22%3A%20%22symmetric%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Diagonal%20%2F%20Kelly%20(w%E2%82%81%E2%82%82%3Dw%E2%82%82%E2%82%81%3D0%20%E2%80%94%202%20parameters)%22%3A%20%22diagonal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Normalized%20(w%E2%82%81%E2%82%81%3Dw%E2%82%82%E2%82%82%3D1%2C%20vary%20off-diagonal%20%E2%80%94%202%20parameters)%22%3A%20%22normalized%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22General%20(4%20fitness%20parameters)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22**Simplifying%20assumption%3A**%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20model_choice%0A%20%20%20%20return%20(model_choice%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20sliders(mo%2C%20model_choice)%3A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%0A%20%20%20%20if%20_choice%20%3D%3D%20%22general%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w11%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%205.0%2C%20value%3D3.0%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w%E2%82%81%E2%82%81%20(phen%201%2C%20env%201)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w12%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%205.0%2C%20value%3D0.2%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w%E2%82%81%E2%82%82%20(phen%201%2C%20env%202)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w21%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%205.0%2C%20value%3D0.1%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w%E2%82%82%E2%82%81%20(phen%202%2C%20env%201)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w22%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%205.0%2C%20value%3D1.8%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w%E2%82%82%E2%82%82%20(phen%202%2C%20env%202)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Fitness%20payoffs%3A**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bw11%2C%20w12%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bw21%2C%20w22%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20elif%20_choice%20%3D%3D%20%22symmetric%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w11%20%3D%20mo.ui.slider(0.1%2C%205.0%2C%20value%3D2.0%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w_match%20(matched%20phen-env)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w12%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%204.99%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w_mismatch%20(mismatched)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w21%20%3D%20w12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w22%20%3D%20w11%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Symmetric%20fitness**%20(%24w_%7B11%7D%3Dw_%7B22%7D%24%2C%20%24w_%7B12%7D%3Dw_%7B21%7D%24)%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bw11%2C%20w12%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20elif%20_choice%20%3D%3D%20%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w11%20%3D%20mo.ui.slider(0.1%2C%205.0%2C%20value%3D2.0%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w%E2%82%81%E2%82%81%20(phen%201%20in%20env%201)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w22%20%3D%20mo.ui.slider(0.1%2C%205.0%2C%20value%3D1.5%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w%E2%82%82%E2%82%82%20(phen%202%20in%20env%202)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w12%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w21%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Diagonal%20fitness**%20(%24w_%7B12%7D%3Dw_%7B21%7D%3D0%24%2C%20Kelly%20criterion)%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bw11%2C%20w22%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20else%3A%20%20%23%20normalized%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w12%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%200.99%2C%20value%3D0.3%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w%E2%82%81%E2%82%82%20(phen%201%2C%20env%202)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w21%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%200.99%2C%20value%3D0.2%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22w%E2%82%82%E2%82%81%20(phen%202%2C%20env%201)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w11%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w22%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**Normalized%20fitness**%20(%24w_%7B11%7D%3Dw_%7B22%7D%3D1%24%2C%20vary%20off-diagonal)%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bw12%2C%20w21%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20p_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%200.99%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.01%2C%20label%3D%22p%20(prob%20of%20env%201)%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_controls%2C%20mo.md(%22**Environment%20probability%3A**%22)%2C%20p_slider%5D)%0A%20%20%20%20return%20p_slider%2C%20w11%2C%20w12%2C%20w21%2C%20w22%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20compute_model(model_choice%2C%20np%2C%20p_slider%2C%20w11%2C%20w12%2C%20w21%2C%20w22)%3A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%20%20%20%20p%20%3D%20p_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Extract%20fitness%20values%20based%20on%20model%0A%20%20%20%20if%20_choice%20%3D%3D%20%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W11%20%3D%20w11.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W12%20%3D%201e-10%20%20%23%20effectively%20zero%2C%20avoids%20log(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W21%20%3D%201e-10%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W22%20%3D%20w22.value%0A%20%20%20%20elif%20_choice%20%3D%3D%20%22normalized%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W11%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W12%20%3D%20w12.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W21%20%3D%20w21.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W22%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W11%20%3D%20w11.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W12%20%3D%20w12.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W21%20%3D%20w21.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W22%20%3D%20w22.value%0A%0A%20%20%20%20matched%20%3D%20(W11%20%3E%20W21)%20and%20(W22%20%3E%20W12)%0A%0A%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.999%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20W_env1%20%3D%20x%20*%20W11%20%2B%20(1%20-%20x)%20*%20W12%0A%20%20%20%20W_env2%20%3D%20x%20*%20W21%20%2B%20(1%20-%20x)%20*%20W22%0A%0A%20%20%20%20E_W%20%3D%20p%20*%20W_env1%20%2B%20(1%20-%20p)%20*%20W_env2%0A%20%20%20%20g%20%3D%20p%20*%20np.log(W_env1)%20%2B%20(1%20-%20p)%20*%20np.log(W_env2)%0A%0A%20%20%20%20a%20%3D%20W11%20-%20W12%0A%20%20%20%20b%20%3D%20W22%20-%20W21%0A%20%20%20%20Delta%20%3D%20W11%20*%20W22%20-%20W12%20*%20W21%0A%0A%20%20%20%20if%20_choice%20%3D%3D%20%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%20%3D%20p%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_minus%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_plus%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20elif%20abs(Delta)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_minus%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_plus%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_minus%20%3D%20W12%20*%20b%20%2F%20Delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_plus%20%3D%20W11%20*%20b%20%2F%20Delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20p%20%3C%20p_minus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20p%20%3E%20p_plus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lhs_const%20%3D%20p%20*%20a%20*%20W22%20-%20(1%20-%20p)%20*%20b%20*%20W12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lhs_coeff%20%3D%20p%20*%20a%20*%20(W21%20-%20W22)%20-%20(1%20-%20p)%20*%20b%20*%20(W11%20-%20W12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(lhs_coeff)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%20%3D%20float(np.clip(-lhs_const%20%2F%20lhs_coeff%2C%200.0%2C%201.0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%20%3D%200.5%0A%0A%20%20%20%20%23%20Phase%20diagram%20curves%0A%20%20%20%20p_range%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.999%2C%20500)%0A%20%20%20%20x_opt_curve%20%3D%20np.zeros_like(p_range)%0A%0A%20%20%20%20if%20_choice%20%3D%3D%20%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt_curve%20%3D%20p_range.copy()%0A%20%20%20%20elif%20abs(Delta)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt_curve%5B%3A%5D%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_i%2C%20_pi%20in%20enumerate(p_range)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_pi%20%3C%20p_minus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt_curve%5B_i%5D%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20_pi%20%3E%20p_plus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt_curve%5B_i%5D%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_lc%20%3D%20_pi%20*%20a%20*%20W22%20-%20(1%20-%20_pi)%20*%20b%20*%20W12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_lk%20%3D%20_pi%20*%20a%20*%20(W21%20-%20W22)%20-%20(1%20-%20_pi)%20*%20b%20*%20(W11%20-%20W12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_lk)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt_curve%5B_i%5D%20%3D%20np.clip(-_lc%20%2F%20_lk%2C%200.0%2C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt_curve%5B_i%5D%20%3D%200.5%0A%0A%20%20%20%20%23%20Optimal%20growth%20rate%20curve%0A%20%20%20%20g_opt_curve%20%3D%20np.zeros_like(p_range)%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_pi%20in%20enumerate(p_range)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xi%20%3D%20x_opt_curve%5B_i%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_we1%20%3D%20max(_xi%20*%20W11%20%2B%20(1%20-%20_xi)%20*%20W12%2C%201e-30)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_we2%20%3D%20max(_xi%20*%20W21%20%2B%20(1%20-%20_xi)%20*%20W22%2C%201e-30)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20g_opt_curve%5B_i%5D%20%3D%20_pi%20*%20np.log(_we1)%20%2B%20(1%20-%20_pi)%20*%20np.log(_we2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Pure%20strategy%20growth%20rates%0A%20%20%20%20g_pure1%20%3D%20p_range%20*%20np.log(W11)%20%2B%20(1%20-%20p_range)%20*%20np.log(max(W21%2C%201e-30))%0A%20%20%20%20g_pure2%20%3D%20p_range%20*%20np.log(max(W12%2C%201e-30))%20%2B%20(1%20-%20p_range)%20*%20np.log(W22)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Delta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_W%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W11%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W21%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20W22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20g%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20g_opt_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20g_pure1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20g_pure2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20matched%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_minus%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_plus%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_range%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt_curve%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20status_display(%0A%20%20%20%20Delta%2C%0A%20%20%20%20W11%2C%0A%20%20%20%20W12%2C%0A%20%20%20%20W21%2C%0A%20%20%20%20W22%2C%0A%20%20%20%20matched%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model_choice%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20p_minus%2C%0A%20%20%20%20p_plus%2C%0A%20%20%20%20x_opt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%0A%20%20%20%20if%20not%20matched%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_output%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22The%20matching%20constraint%20is%20violated%20(%24w_%7B%7B11%7D%7D%20%3E%20w_%7B%7B21%7D%7D%24%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24w_%7B%7B22%7D%7D%20%3E%20w_%7B%7B12%7D%7D%24).%20The%20model%20assumes%20each%20phenotype%20is%20adapted%20to%20one%20environment.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_choice%20%3D%3D%20%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime%20%3D%20%22**Proportional%20betting**%20(Kelly)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%20%3D%20f%22%24x%5E*%20%3D%20p%20%3D%20%7Bp%3A.2f%7D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20p%20%3C%20p_minus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime%20%3D%20%22**Pure%20phenotype%202**%20(%24x%5E*%3D0%24)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%20%3D%20f%22%24p%20%3D%20%7Bp%3A.2f%7D%20%3C%20p%5E-%20%3D%20%7Bp_minus%3A.3f%7D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20p%20%3E%20p_plus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime%20%3D%20%22**Pure%20phenotype%201**%20(%24x%5E*%3D1%24)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%20%3D%20f%22%24p%20%3D%20%7Bp%3A.2f%7D%20%3E%20p%5E%2B%20%3D%20%7Bp_plus%3A.3f%7D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime%20%3D%20%22**Bet-hedging**%20(mixed%20strategy)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%20%3D%20f%22%24p%5E-%20%3D%20%7Bp_minus%3A.3f%7D%20%3C%20p%20%3D%20%7Bp%3A.2f%7D%20%3C%20p%5E%2B%20%3D%20%7Bp_plus%3A.3f%7D%24%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_output%20%3D%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Current%20State%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Fitness%20matrix%20%7C%20%24w_%7B%7B11%7D%7D%3D%7BW11%3A.2f%7D%24%2C%20%24w_%7B%7B12%7D%7D%3D%7BW12%3A.2f%7D%24%2C%20%24w_%7B%7B21%7D%7D%3D%7BW21%3A.2f%7D%24%2C%20%24w_%7B%7B22%7D%7D%3D%7BW22%3A.2f%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Determinant%20%24%5C%5CDelta%24%20%7C%20%24%7BDelta%3A.3f%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Critical%20thresholds%20%7C%20%24p%5E-%20%3D%20%7Bp_minus%3A.3f%7D%24%2C%20%24p%5E%2B%20%3D%20%7Bp_plus%3A.3f%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Current%20regime%20%7C%20%7Bregime%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Optimal%20strategy%20%7C%20%24x%5E*%20%3D%20%7Bx_opt%3A.3f%7D%24%20%26nbsp%3B%20(%7Bformula%7D)%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_output%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_phase_diagram(%0A%20%20%20%20BH_FILL%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20SLATE%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model_choice%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20p_minus%2C%0A%20%20%20%20p_plus%2C%0A%20%20%20%20p_range%2C%0A%20%20%20%20x_opt%2C%0A%20%20%20%20x_opt_curve%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20if%20_choice%20!%3D%22diagonal%22%20and%20p_minus%20%3C%20p_plus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_vrect(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dmax(p_minus%2C%200)%2C%20x1%3Dmin(p_plus%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3DBH_FILL%2C%20line_width%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_text%3D%22bet-hedging%22%2C%20annotation_position%3D%22top%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_font_color%3DSLATE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dx_opt_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22x*(p)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D3)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp%5D%2C%20y%3D%5Bx_opt%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3Df%22current%20(p%3D%7Bp%3A.2f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D12%2C%20symbol%3D%22circle%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20if%20_choice%20!%3D%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%200%20%3C%20p_minus%20%3C%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3Dp_minus%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20line_color%3DSLATE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_text%3Df%22p%5Cu207b%3D%7Bp_minus%3A.3f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_font_color%3DSLATE)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%200%20%3C%20p_plus%20%3C%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3Dp_plus%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20line_color%3DSLATE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_text%3Df%22p%5Cu207a%3D%7Bp_plus%3A.3f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_font_color%3DSLATE)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22x%3Dp%20(Kelly)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DSLATE%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Phase%20Diagram%3A%20Optimal%20Strategy%20x*(p)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22p%20(probability%20of%20environment%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22x*%20(probability%20of%20phenotype%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-0.05%2C%201.05%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D420%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_fitness_landscape(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20E_W%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20g%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20make_subplots%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20x%2C%0A%20%20%20%20x_opt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%20cols%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Arithmetic%20Mean%20E%5BW%5D%20(linear%20in%20x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Log%20Growth%20Rate%20g(x)%20%3D%20E%5Blog%20W%5D%20%20(concave%20in%20x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20horizontal_spacing%3D0.12%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%3A%20Arithmetic%20mean%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx%2C%20y%3DE_W%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22E%5BW%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_ew_opt%20%3D%20np.interp(x_opt%2C%20x%2C%20E_W)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_opt%5D%2C%20y%3D%5B_ew_opt%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3D%22x*%20(geo.%20optimal)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D%22diamond%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_x_arith%20%3D%20x%5Bnp.argmax(E_W)%5D%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B_x_arith%5D%2C%20y%3D%5Bnp.max(E_W)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3D%22arith.%20optimal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D%22star%22)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%3A%20Log%20growth%20rate%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx%2C%20y%3Dg%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22g(x)%20%3D%20E%5Blog%20W%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_g_opt%20%3D%20np.interp(x_opt%2C%20x%2C%20g)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_opt%5D%2C%20y%3D%5B_g_opt%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3Df%22x*%3D%7Bx_opt%3A.3f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D12%2C%20symbol%3D%22circle%22)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_xaxes(title_text%3D%22x%20(phenotype%201%20probability)%22%2C%20range%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig.update_xaxes(title_text%3D%22x%20(phenotype%201%20probability)%22%2C%20range%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig.update_yaxes(title_text%3D%22E%5BW%5D%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig.update_yaxes(title_text%3D%22g(x)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D420%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_text%3Df%22Fitness%20Landscapes%20at%20p%20%3D%20%7Bp%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D-0.15%2C%20orientation%3D%22h%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_growth_rate_comparison(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BH_FILL%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20GREEN%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20g_opt_curve%2C%0A%20%20%20%20g_pure1%2C%0A%20%20%20%20g_pure2%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model_choice%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20p_minus%2C%0A%20%20%20%20p_plus%2C%0A%20%20%20%20p_range%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20if%20_choice%20!%3D%22diagonal%22%20and%20p_minus%20%3C%20p_plus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_vrect(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dmax(p_minus%2C%200)%2C%20x1%3Dmin(p_plus%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3DBH_FILL%2C%20line_width%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dg_pure1%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Pure%20phen%201%20(x%3D1)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20width%3D1.5%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dg_pure2%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Pure%20phen%202%20(x%3D0)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DGREEN%2C%20width%3D1.5%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dg_opt_curve%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Optimal%20g*(p)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D3)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_gi%20%3D%20np.interp(p%2C%20p_range%2C%20g_opt_curve)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp%5D%2C%20y%3D%5B_gi%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3Df%22current%20p%3D%7Bp%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D12%2C%20symbol%3D%22circle%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Long-Run%20Growth%20Rate%3A%20Optimal%20vs.%20Pure%20Strategies%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22p%20(probability%20of%20environment%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22g*(p)%20%3D%20max_x%20E%5Blog%20W%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D420%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.02)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_bet_hedging_advantage(%0A%20%20%20%20BH_FILL%2C%0A%20%20%20%20PURPLE%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20SLATE%2C%0A%20%20%20%20g_opt_curve%2C%0A%20%20%20%20g_pure1%2C%0A%20%20%20%20g_pure2%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model_choice%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20p_minus%2C%0A%20%20%20%20p_plus%2C%0A%20%20%20%20p_range%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%20%20%20%20_best_pure%20%3D%20np.maximum(g_pure1%2C%20g_pure2)%0A%20%20%20%20_advantage%20%3D%20g_opt_curve%20-%20_best_pure%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shaded%20bet-hedging%20region%0A%20%20%20%20if%20_choice%20!%3D%20%22diagonal%22%20and%20p_minus%20%3C%20p_plus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_vrect(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dmax(p_minus%2C%200)%2C%20x1%3Dmin(p_plus%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3DBH_FILL%2C%20line_width%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3D_advantage%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22%5Cu0394g%20(bet-hedging%20advantage)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DPURPLE%2C%20width%3D3)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22tozeroy%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(196%2C%20181%2C%20253%2C%200.12)%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_hline(y%3D0%2C%20line_color%3DSLATE%2C%20line_width%3D1%2C%20line_dash%3D%22dot%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20p%20marker%0A%20%20%20%20_pi_idx%20%3D%20np.argmin(np.abs(p_range%20-%20p))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp%5D%2C%20y%3D%5B_advantage%5B_pi_idx%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3Df%22current%20(%5Cu0394g%3D%7B_advantage%5B_pi_idx%5D%3A.4f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D12%2C%20symbol%3D%22circle%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Peak%20advantage%20annotation%0A%20%20%20%20_peak_idx%20%3D%20np.argmax(_advantage)%0A%20%20%20%20if%20_advantage%5B_peak_idx%5D%20%3E%201e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp_range%5B_peak_idx%5D%5D%2C%20y%3D%5B_advantage%5B_peak_idx%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%20name%3Df%22peak%20at%20p%3D%7Bp_range%5B_peak_idx%5D%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DPURPLE%2C%20size%3D9%2C%20symbol%3D%22star%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22%20%20peak%20%5Cu0394g%3D%7B_advantage%5B_peak_idx%5D%3A.4f%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(color%3DPURPLE%2C%20size%3D11)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Bet-Hedging%20Advantage%3A%20g*(mixed)%20%5Cu2212%20g*(best%20pure%20strategy)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22p%20(probability%20of%20environment%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22%5Cu0394g%20(nats%20per%20generation)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D380%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_phase_boundary(RED%2C%20SLATE%2C%20W11%2C%20W12%2C%20W21%2C%20W22%2C%20go%2C%20mo%2C%20np%2C%20p)%3A%0A%20%20%20%20_s_max%20%3D%20min(W11%2C%20W22)%20*%200.99%0A%20%20%20%20_s_range%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%20_s_max%2C%20300)%0A%20%20%20%20_p_minus_curve%20%3D%20np.zeros(len(_s_range))%0A%20%20%20%20_p_plus_curve%20%3D%20np.zeros(len(_s_range))%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_s%20in%20enumerate(_s_range)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_b%20%3D%20W22%20-%20_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_det%20%3D%20W11%20*%20W22%20-%20_s%20*%20_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_det)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_minus_curve%5B_i%5D%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_plus_curve%5B_i%5D%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_minus_curve%5B_i%5D%20%3D%20np.clip(_s%20*%20_b%20%2F%20_det%2C%200%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_p_plus_curve%5B_i%5D%20%3D%20np.clip(W11%20*%20_b%20%2F%20_det%2C%200%2C%201)%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5B_p_minus_curve%2C%20np.zeros(len(_s_range))%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5B_s_range%2C%20_s_range%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(110%2C%20231%2C%20183%2C%200.12)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%20name%3D%22pure%20phen%202%20(x*%3D0)%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5B_p_plus_curve%2C%20_p_minus_curve%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5B_s_range%2C%20_s_range%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(125%2C%20211%2C%20252%2C%200.15)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%20name%3D%22bet-hedging%20(0%20%3C%20x*%20%3C%201)%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bnp.ones(len(_s_range))%2C%20_p_plus_curve%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5B_s_range%2C%20_s_range%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(252%2C%20211%2C%2077%2C%200.12)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%20name%3D%22pure%20phen%201%20(x*%3D1)%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_p_minus_curve%2C%20y%3D_s_range%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22p%5Cu207b(s)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DSLATE%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_p_plus_curve%2C%20y%3D_s_range%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22p%5Cu207a(s)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DSLATE%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_s_current%20%3D%20np.sqrt(max(W12%2C%201e-10)%20*%20max(W21%2C%201e-10))%0A%20%20%20%20if%20_s_current%20%3C%20_s_max%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp%5D%2C%20y%3D%5B_s_current%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3Df%22current%20(p%3D%7Bp%3A.2f%7D%2C%20s%5Cu2248%7B_s_current%3A.2f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D14%2C%20symbol%3D%22circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22white%22%2C%20width%3D1.5))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_hline(y%3D_s_current%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3DRED%2C%20line_width%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Phase%20Boundary%20vs.%20Mismatch%20Severity%20(w%5Cu2081%5Cu2081%3D%7BW11%3A.1f%7D%2C%20w%5Cu2082%5Cu2082%3D%7BW22%3A.1f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22p%20(probability%20of%20environment%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22s%20(symmetric%20mismatch%3A%20w%5Cu2081%5Cu2082%20%3D%20w%5Cu2082%5Cu2081%20%3D%20s)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%20_s_max%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D450%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_geometric_mean(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BH_FILL%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20GREEN%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20g_opt_curve%2C%0A%20%20%20%20g_pure1%2C%0A%20%20%20%20g_pure2%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model_choice%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20p_minus%2C%0A%20%20%20%20p_plus%2C%0A%20%20%20%20p_range%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20if%20_choice%20!%3D%22diagonal%22%20and%20p_minus%20%3C%20p_plus%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_vrect(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dmax(p_minus%2C%200)%2C%20x1%3Dmin(p_plus%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3DBH_FILL%2C%20line_width%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dnp.exp(g_pure1)%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Pure%20phen%201%20(x%3D1)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20width%3D1.5%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dnp.exp(g_pure2)%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Pure%20phen%202%20(x%3D0)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DGREEN%2C%20width%3D1.5%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dnp.exp(g_opt_curve)%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Optimal%20G*(p)%20%3D%20exp(g*)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D3)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_gi%20%3D%20np.interp(p%2C%20p_range%2C%20g_opt_curve)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp%5D%2C%20y%3D%5Bnp.exp(_gi)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3Df%22current%20p%3D%7Bp%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D12%2C%20symbol%3D%22circle%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Geometric%20Mean%20Fitness%20G*(p)%20%3D%20exp(g*)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22p%20(probability%20of%20environment%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22G*(p)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D420%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_entropy_tax(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20W11%2C%0A%20%20%20%20W22%2C%0A%20%20%20%20g_opt_curve%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model_choice%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20p_range%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_g_perfect%20%3D%20p_range%20*%20np.log(W11)%20%2B%20(1%20-%20p_range)%20*%20np.log(W22)%0A%20%20%20%20_gap%20%3D%20_g_perfect%20-%20g_opt_curve%0A%20%20%20%20_H_p%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-_pi%20*%20np.log(_pi)%20-%20(1%20-%20_pi)%20*%20np.log(1%20-%20_pi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%200%20%3C%20_pi%20%3C%201%20else%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_pi%20in%20p_range%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3D_H_p%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22H(p)%20%5Cu2014%20Shannon%20entropy%20(max%20possible%20cost)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20width%3D2%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3D_gap%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22g_perfect%20%5Cu2212%20g*%20(actual%20cost%20of%20uncertainty)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D2.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22tozeroy%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(125%2C%20211%2C%20252%2C%200.10)%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_pi_idx%20%3D%20np.argmin(np.abs(p_range%20-%20p))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp%5D%2C%20y%3D%5B_gap%5B_pi_idx%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3Df%22current%20(%7B_gap%5B_pi_idx%5D%3A.4f%7D%20nats)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D12%2C%20symbol%3D%22circle%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%20%20%20%20if%20_choice%20%3D%3D%20%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_subtitle%20%3D%20%22%3D%20H(p)%20exactly%20(Kelly%20criterion)%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_subtitle%20%3D%20%22%5Cu2264%20H(p)%20(partial%20mismatch%20buffers%20uncertainty)%22%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Entropy%20Tax%3A%20Cost%20of%20Environmental%20Uncertainty%20%20%5B%7B_subtitle%7D%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22p%20(probability%20of%20environment%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22nats%20per%20generation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20cue_section_header(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20Environmental%20Cues%3A%20The%20Value%20of%20Information%0A%0A%20%20%20%20When%20an%20organism%20can%20observe%20an%20imperfect%20signal%20before%20choosing%20its%20phenotype%2C%0A%20%20%20%20information%20reduces%20environmental%20uncertainty%20and%20increases%20fitness.%0A%20%20%20%20Below%2C%20we%20model%20a%20**binary%20cue**%20with%20tunable%20reliability.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20cue_controls(mo)%3A%0A%20%20%20%20reliability%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%201.0%2C%20value%3D0.8%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Cue%20reliability%20q%20(prob%20cue%20matches%20environment)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Binary%20cue%20model%3A**%20The%20organism%20sees%20cue%20%24c%20%5Cin%20%5C%7B1%2C%202%5C%7D%24%20before%20acting.%0A%20%20%20%20%24P(c%3De%20%5Cmid%20e)%20%3D%20q%24%20(correct%20signal)%2C%20%24P(c%20%5Cneq%20e%20%5Cmid%20e)%20%3D%201-q%24%20(false%20signal).%0A%0A%20%20%20%20-%20%24q%20%3D%200.5%24%3A%20cue%20is%20**useless**%20(no%20information)%0A%20%20%20%20-%20%24q%20%3D%201.0%24%3A%20cue%20is%20**perfect**%20(full%20information)%0A%20%20%20%20-%20Mutual%20information%3A%20%24I(E%3BC)%20%3D%20H(E)%20-%20H(E%7CC)%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reliability%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(reliability%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20compute_cue(W11%2C%20W12%2C%20W21%2C%20W22%2C%20model_choice%2C%20np%2C%20p_range%2C%20reliability)%3A%0A%20%20%20%20q%20%3D%20reliability.value%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%0A%20%20%20%20def%20_entropy(prob)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20prob%20%3C%3D%200%20or%20prob%20%3E%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-prob%20*%20np.log(prob)%20-%20(1%20-%20prob)%20*%20np.log(1%20-%20prob)%0A%0A%20%20%20%20def%20_compute_g_optimal(pi%2C%20w11%2C%20w12%2C%20w21%2C%20w22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Optimal%20g%20for%20given%20environment%20probability%20%E2%80%94%20grid%20search.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xs%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.999%2C%201000)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_we1%20%3D%20_xs%20*%20w11%20%2B%20(1%20-%20_xs)%20*%20w12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_we2%20%3D%20_xs%20*%20w21%20%2B%20(1%20-%20_xs)%20*%20w22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gs%20%3D%20pi%20*%20np.log(np.maximum(_we1%2C%201e-30))%20%2B%20(1%20-%20pi)%20*%20np.log(np.maximum(_we2%2C%201e-30))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.max(_gs)%0A%0A%20%20%20%20def%20_compute_g_with_cue(pi%2C%20w11%2C%20w12%2C%20w21%2C%20w22%2C%20q_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pc1%20%3D%20pi%20*%20q_val%20%2B%20(1%20-%20pi)%20*%20(1%20-%20q_val)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pc2%20%3D%201%20-%20_pc1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_g_total%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_pc%2C%20_pe1_given_c%20in%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_pc1%2C%20pi%20*%20q_val%20%2F%20_pc1%20if%20_pc1%20%3E%201e-12%20else%200.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_pc2%2C%20pi%20*%20(1%20-%20q_val)%20%2F%20_pc2%20if%20_pc2%20%3E%201e-12%20else%200.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_pc%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_g_total%20%2B%3D%20_pc%20*%20_compute_g_optimal(_pe1_given_c%2C%20w11%2C%20w12%2C%20w21%2C%20w22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_g_total%0A%0A%20%20%20%20def%20_mutual_info_binary(pi%2C%20q_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pc1%20%3D%20pi%20*%20q_val%20%2B%20(1%20-%20pi)%20*%20(1%20-%20q_val)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pc2%20%3D%201%20-%20_pc1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_h_e_given_c%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_pc1%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_h_e_given_c%20%2B%3D%20_pc1%20*%20_entropy(pi%20*%20q_val%20%2F%20_pc1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_pc2%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_h_e_given_c%20%2B%3D%20_pc2%20*%20_entropy(pi%20*%20(1%20-%20q_val)%20%2F%20_pc2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_entropy(pi)%20-%20_h_e_given_c%0A%0A%20%20%20%20g_no_cue%20%3D%20np.array(%5B_compute_g_optimal(_pi%2C%20W11%2C%20W12%2C%20W21%2C%20W22)%20for%20_pi%20in%20p_range%5D)%0A%20%20%20%20g_with_cue%20%3D%20np.array(%5B_compute_g_with_cue(_pi%2C%20W11%2C%20W12%2C%20W21%2C%20W22%2C%20q)%20for%20_pi%20in%20p_range%5D)%0A%20%20%20%20delta_g%20%3D%20g_with_cue%20-%20g_no_cue%0A%20%20%20%20mutual_info%20%3D%20np.array(%5B_mutual_info_binary(_pi%2C%20q)%20for%20_pi%20in%20p_range%5D)%0A%20%20%20%20return%20delta_g%2C%20g_no_cue%2C%20g_with_cue%2C%20mutual_info%2C%20q%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_cue_value(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20SLATE%2C%0A%20%20%20%20delta_g%2C%0A%20%20%20%20g_no_cue%2C%0A%20%20%20%20g_with_cue%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20make_subplots%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mutual_info%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20p_range%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%20cols%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Growth%20Rate%3A%20With%20vs.%20Without%20Cue%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Fitness%20Value%20of%20Information%20(q%3D%7Bq%3A.2f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20horizontal_spacing%3D0.12%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dg_no_cue%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22g*%20(no%20cue)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DSLATE%2C%20width%3D2%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dg_with_cue%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22g*%20(with%20cue)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D2.5)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_pi_idx%20%3D%20np.argmin(np.abs(p_range%20-%20p))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp%2C%20p%5D%2C%20y%3D%5Bg_no_cue%5B_pi_idx%5D%2C%20g_with_cue%5B_pi_idx%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Blines%22%2C%20name%3D%22info%20gain%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D8)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DRED%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dmutual_info%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22I(E%3BC)%20(mutual%20info)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20width%3D2%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Ddelta_g%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22%5Cu0394g%20(fitness%20value)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D2.5)%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bp_range%2C%20p_range%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5Bmutual_info%2C%20delta_g%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(252%2C%20211%2C%2077%2C%200.08)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22info%20not%20exploitable%22%2C%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_xaxes(title_text%3D%22p%22%2C%20range%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig.update_xaxes(title_text%3D%22p%22%2C%20range%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig.update_yaxes(title_text%3D%22g*(p)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig.update_yaxes(title_text%3D%22nats%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D420%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D-0.15%2C%20orientation%3D%22h%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20cue_interpretation(mo%2C%20model_choice%2C%20q)%3A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%20%20%20%20if%20_choice%20%3D%3D%20%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22In%20the%20diagonal%20(Kelly)%20case%2C%20%24%5C%5CDelta%20g%20%3D%20I(E%3BC)%24%20**exactly**%20%E2%80%94%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22proportional%20betting%20fully%20exploits%20the%20signal.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22In%20the%20general%20case%2C%20%24%5C%5CDelta%20g%20%5C%5Cleq%20I(E%3BC)%24%20%E2%80%94%20the%20organism%20may%20not%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22be%20able%20to%20fully%20exploit%20the%20information%20due%20to%20fitness%20matrix%20constraints.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20**Interpretation**%20(cue%20reliability%20%24q%20%3D%20%7Bq%3A.2f%7D%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20**blue%20curve**%20(%24%5C%5CDelta%20g%24)%20shows%20how%20much%20bet-hedging%20fitness%20improves%0A%20%20%20%20%20%20with%20the%20cue.%20The%20**amber%20dashed%20curve**%20(%24I(E%3BC)%24)%20is%20the%20theoretical%20upper%0A%20%20%20%20%20%20bound%20from%20information%20theory.%0A%20%20%20%20-%20%7B_note%7D%0A%20%20%20%20-%20The%20shaded%20region%20represents%20information%20that%20*exists*%20in%20the%20cue%20but%0A%20%20%20%20%20%20*cannot%20be%20exploited*%20by%20the%20organism's%20strategy%20space.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_entropy_decomposition(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20SLATE%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mutual_info%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20p_range%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20H(E)%20for%20each%20p%20value%0A%20%20%20%20_h_e%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-_pi%20*%20np.log(_pi)%20-%20(1%20-%20_pi)%20*%20np.log(1%20-%20_pi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%200%20%3C%20_pi%20%3C%201%20else%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_pi%20in%20p_range%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20_h_e_given_c%20%3D%20_h_e%20-%20mutual_info%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20H(E)%20%E2%80%94%20total%20environmental%20entropy%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3D_h_e%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22H(E)%20%5Cu2014%20total%20uncertainty%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20width%3D2.5)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20H(E%7CC)%20%E2%80%94%20residual%20uncertainty%20after%20observing%20cue%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3D_h_e_given_c%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22H(E%7CC)%20%5Cu2014%20residual%20after%20cue%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DSLATE%2C%20width%3D2%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20I(E%3BC)%20%E2%80%94%20mutual%20information%20(the%20gap)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dp_range%2C%20y%3Dmutual_info%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22I(E%3BC)%20%3D%20H(E)%20%5Cu2212%20H(E%7CC)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D2.5)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shade%20the%20mutual%20information%20region%20(gap%20between%20H(E)%20and%20H(E%7CC))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bp_range%2C%20p_range%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5B_h_e%2C%20_h_e_given_c%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(125%2C%20211%2C%20252%2C%200.10)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%20name%3D%22information%20gained%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20p%20marker%0A%20%20%20%20_pi_idx%20%3D%20np.argmin(np.abs(p_range%20-%20p))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bp%5D%2C%20y%3D%5B_h_e%5B_pi_idx%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D%22diamond%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3Dp%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3DRED%2C%20line_width%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Entropy%20Decomposition%3A%20H(E)%20%3D%20H(E%7CC)%20%2B%20I(E%3BC)%20%20%5Bq%3D%7Bq%3A.2f%7D%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22p%20(prob%20of%20environment%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22nats%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_cue_reliability_sweep(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20W11%2C%0A%20%20%20%20W12%2C%0A%20%20%20%20W21%2C%0A%20%20%20%20W22%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model_choice%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20reliability%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_q_range%20%3D%20np.linspace(0.5%2C%201.0%2C%20200)%0A%20%20%20%20_q_current%20%3D%20reliability.value%0A%0A%20%20%20%20def%20_safe_entropy(_prob)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_prob%20%3C%3D%200%20or%20_prob%20%3E%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-_prob%20*%20np.log(_prob)%20-%20(1%20-%20_prob)%20*%20np.log(1%20-%20_prob)%0A%0A%20%20%20%20def%20_g_optimal(_pi%2C%20_w11%2C%20_w12%2C%20_w21%2C%20_w22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xs%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.999%2C%201000)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_we1%20%3D%20_xs%20*%20_w11%20%2B%20(1%20-%20_xs)%20*%20_w12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_we2%20%3D%20_xs%20*%20_w21%20%2B%20(1%20-%20_xs)%20*%20_w22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gs%20%3D%20_pi%20*%20np.log(np.maximum(_we1%2C%201e-30))%20%2B%20(1%20-%20_pi)%20*%20np.log(np.maximum(_we2%2C%201e-30))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.max(_gs)%0A%0A%20%20%20%20_g_no_cue%20%3D%20_g_optimal(p%2C%20W11%2C%20W12%2C%20W21%2C%20W22)%0A%20%20%20%20_delta_g%20%3D%20np.zeros(len(_q_range))%0A%20%20%20%20_mi%20%3D%20np.zeros(len(_q_range))%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_q%20in%20enumerate(_q_range)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pc1%20%3D%20p%20*%20_q%20%2B%20(1%20-%20p)%20*%20(1%20-%20_q)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pc2%20%3D%201%20-%20_pc1%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_g_cue%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_pc1%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_g_cue%20%2B%3D%20_pc1%20*%20_g_optimal(p%20*%20_q%20%2F%20_pc1%2C%20W11%2C%20W12%2C%20W21%2C%20W22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_pc2%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_g_cue%20%2B%3D%20_pc2%20*%20_g_optimal(p%20*%20(1%20-%20_q)%20%2F%20_pc2%2C%20W11%2C%20W12%2C%20W21%2C%20W22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_delta_g%5B_i%5D%20%3D%20_g_cue%20-%20_g_no_cue%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_h_e_c%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_pc1%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_h_e_c%20%2B%3D%20_pc1%20*%20_safe_entropy(p%20*%20_q%20%2F%20_pc1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_pc2%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_h_e_c%20%2B%3D%20_pc2%20*%20_safe_entropy(p%20*%20(1%20-%20_q)%20%2F%20_pc2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mi%5B_i%5D%20%3D%20_safe_entropy(p)%20-%20_h_e_c%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_q_range%2C%20y%3D_mi%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22I(E%3BC)%20%5Cu2014%20mutual%20information%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20width%3D2%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_q_range%2C%20y%3D_delta_g%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%5Cu0394g%20%5Cu2014%20fitness%20value%20of%20cue%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D2.5)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5B_q_range%2C%20_q_range%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5B_mi%2C%20_delta_g%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(252%2C%20211%2C%2077%2C%200.08)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%20name%3D%22unexploitable%20information%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_qi_idx%20%3D%20np.argmin(np.abs(_q_range%20-%20_q_current))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B_q_current%5D%2C%20y%3D%5B_delta_g%5B_qi_idx%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20name%3Df%22current%20q%3D%7B_q_current%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3DRED%2C%20size%3D12%2C%20symbol%3D%22circle%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_choice%20%3D%20model_choice.value%0A%20%20%20%20if%20_choice%20%3D%3D%20%22diagonal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_note%20%3D%20%22%5Cu0394g%20%3D%20I(E%3BC)%20exactly%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_note%20%3D%20%22%5Cu0394g%20%5Cu2264%20I(E%3BC)%22%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Cue%20Quality%20vs.%20Fitness%20Gain%20at%20p%3D%7Bp%3A.2f%7D%20%20%5B%7B_note%7D%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22q%20(cue%20reliability%3A%20P(cue%20matches%20env))%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22nats%20per%20generation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0.5%2C%201.0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20simulation_header(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%207.%20Population%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20Watch%20how%20populations%20evolve%20over%20time%20under%20different%20strategies.%0A%20%20%20%20The%20**geometric%20mean**%20optimizer%20(blue)%20consistently%20outperforms%20in%20the%0A%20%20%20%20long%20run%2C%20even%20when%20the%20arithmetic%20mean%20optimizer%20(amber)%20has%20higher%0A%20%20%20%20expected%20fitness%20per%20generation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20simulation_controls(mo)%3A%0A%20%20%20%20n_gen%20%3D%20mo.ui.slider(50%2C%202000%2C%20value%3D500%2C%20step%3D50%2C%20label%3D%22Number%20of%20generations%22)%0A%20%20%20%20seed_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%2099%2C%20value%3D42%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Random%20seed%22)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_gen%2C%20seed_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%20n_gen%2C%20seed_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20run_simulation(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20E_W%2C%0A%20%20%20%20GREEN%2C%0A%20%20%20%20RED%2C%0A%20%20%20%20SLATE%2C%0A%20%20%20%20W11%2C%0A%20%20%20%20W12%2C%0A%20%20%20%20W21%2C%0A%20%20%20%20W22%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_gen%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20seed_slider%2C%0A%20%20%20%20x_opt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed_slider.value)%0A%20%20%20%20_N%20%3D%20n_gen.value%0A%20%20%20%20_envs%20%3D%20_rng.random(_N)%20%3C%20p%0A%0A%20%20%20%20_strategies%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Geo-optimal%20(x*%3D%7Bx_opt%3A.2f%7D)%22%3A%20x_opt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pure%20phen%201%20(x%3D1)%22%3A%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pure%20phen%202%20(x%3D0)%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Naive%2050%2F50%20(x%3D0.5)%22%3A%200.5%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20_x_arith%20%3D%201.0%20if%20E_W%5B-1%5D%20%3E%20E_W%5B0%5D%20else%200.0%0A%20%20%20%20if%20abs(_x_arith%20-%20x_opt)%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_strategies%5Bf%22Arith-optimal%20(x%3D%7B_x_arith%3A.0f%7D)%22%5D%20%3D%20_x_arith%0A%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20%5BBLUE%2C%20AMBER%2C%20GREEN%2C%20SLATE%2C%20RED%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20for%20(_name%2C%20_xi)%2C%20_color%20in%20zip(_strategies.items()%2C%20_colors)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_w_per_gen%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_envs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xi%20*%20W11%20%2B%20(1%20-%20_xi)%20*%20W12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xi%20*%20W21%20%2B%20(1%20-%20_xi)%20*%20W22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cum_log%20%3D%20np.cumsum(np.log(np.maximum(_w_per_gen%2C%201e-30)))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.arange(_N)%2C%20y%3D_cum_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D_name%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D_color%2C%20width%3D2.5%20if%20%22Geo%22%20in%20_name%20else%201.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Population%20Trajectories%20(log%20scale)%20%5Cu2014%20%7B_N%7D%20generations%2C%20p%3D%7Bp%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Generation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Cumulative%20log%20fitness%20(%5Cu2248%20log%20population)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D450%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20fan_chart_header(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Distribution%20of%20Outcomes%0A%0A%20%20%20%20A%20single%20trajectory%20can%20be%20lucky%20or%20unlucky.%20Below%2C%20**50%20independent%20runs**%0A%20%20%20%20show%20the%20*distribution*%20of%20population%20outcomes.%20The%20shaded%20bands%20are%20percentile%0A%20%20%20%20envelopes%20%E2%80%94%20the%20geo-optimal%20strategy%20(blue)%20consistently%20dominates%20the%20best%0A%20%20%20%20pure%20strategy%20(amber)%20in%20the%20long%20run%2C%20even%20though%20individual%20runs%20scatter%20widely.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20run_fan_simulation(%0A%20%20%20%20AMBER%2C%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20SLATE%2C%0A%20%20%20%20W11%2C%0A%20%20%20%20W12%2C%0A%20%20%20%20W21%2C%0A%20%20%20%20W22%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_gen%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20seed_slider%2C%0A%20%20%20%20x_opt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed_slider.value%20%2B%201000)%0A%20%20%20%20_N%20%3D%20n_gen.value%0A%20%20%20%20_n_runs%20%3D%2050%0A%0A%20%20%20%20%23%20Many%20environment%20sequences%0A%20%20%20%20_all_envs%20%3D%20_rng.random((_n_runs%2C%20_N))%20%3C%20p%0A%0A%20%20%20%20%23%20Geo-optimal%20trajectories%0A%20%20%20%20_w_geo%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_all_envs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%20*%20W11%20%2B%20(1%20-%20x_opt)%20*%20W12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_opt%20*%20W21%20%2B%20(1%20-%20x_opt)%20*%20W22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_cum_geo%20%3D%20np.cumsum(np.log(np.maximum(_w_geo%2C%201e-30))%2C%20axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Best%20pure%20strategy%0A%20%20%20%20_g1_est%20%3D%20p%20*%20np.log(max(W11%2C%201e-30))%20%2B%20(1%20-%20p)%20*%20np.log(max(W21%2C%201e-30))%0A%20%20%20%20_g2_est%20%3D%20p%20*%20np.log(max(W12%2C%201e-30))%20%2B%20(1%20-%20p)%20*%20np.log(max(W22%2C%201e-30))%0A%20%20%20%20_x_pure%20%3D%201.0%20if%20_g1_est%20%3E%3D%20_g2_est%20else%200.0%0A%20%20%20%20_pure_label%20%3D%20%22phen%201%22%20if%20_x_pure%20%3D%3D%201.0%20else%20%22phen%202%22%0A%0A%20%20%20%20_w_pure%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_all_envs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_pure%20*%20W11%20%2B%20(1%20-%20_x_pure)%20*%20W12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_pure%20*%20W21%20%2B%20(1%20-%20_x_pure)%20*%20W22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_cum_pure%20%3D%20np.cumsum(np.log(np.maximum(_w_pure%2C%201e-30))%2C%20axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_gens%20%3D%20np.arange(_N)%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Geo-optimal%20fan%20---%0A%20%20%20%20_gp10%20%3D%20np.percentile(_cum_geo%2C%2010%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20_gp25%20%3D%20np.percentile(_cum_geo%2C%2025%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20_gp50%20%3D%20np.percentile(_cum_geo%2C%2050%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20_gp75%20%3D%20np.percentile(_cum_geo%2C%2075%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20_gp90%20%3D%20np.percentile(_cum_geo%2C%2090%2C%20axis%3D0)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5B_gens%2C%20_gens%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5B_gp90%2C%20_gp10%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(125%2C%20211%2C%20252%2C%200.08)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%20name%3D%22geo-opt%2010th%5Cu201390th%20pct%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5B_gens%2C%20_gens%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5B_gp75%2C%20_gp25%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(125%2C%20211%2C%20252%2C%200.15)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%20name%3D%22geo-opt%2025th%5Cu201375th%20pct%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_gens%2C%20y%3D_gp50%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df%22geo-opt%20median%20(x*%3D%7Bx_opt%3A.2f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DBLUE%2C%20width%3D3)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Pure%20strategy%20fan%20---%0A%20%20%20%20_pp10%20%3D%20np.percentile(_cum_pure%2C%2010%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20_pp50%20%3D%20np.percentile(_cum_pure%2C%2050%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20_pp90%20%3D%20np.percentile(_cum_pure%2C%2090%2C%20axis%3D0)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5B_gens%2C%20_gens%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5B_pp90%2C%20_pp10%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(252%2C%20211%2C%2077%2C%200.06)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%20name%3D%22best-pure%2010th%5Cu201390th%20pct%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_gens%2C%20y%3D_pp50%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df%22best-pure%20median%20(%7B_pure_label%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DAMBER%2C%20width%3D2%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Theoretical%20growth-rate%20reference%20lines%0A%20%20%20%20_g_geo_th%20%3D%20p%20*%20np.log(max(x_opt%20*%20W11%20%2B%20(1%20-%20x_opt)%20*%20W12%2C%201e-30))%20%2B%20(1%20-%20p)%20*%20np.log(max(x_opt%20*%20W21%20%2B%20(1%20-%20x_opt)%20*%20W22%2C%201e-30))%0A%20%20%20%20_g_pure_th%20%3D%20max(_g1_est%2C%20_g2_est)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20_N%20-%201%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%20_g_geo_th%20*%20(_N%20-%201)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3Df%22theoretical%20g*%3D%7B_g_geo_th%3A.4f%7D%2Fgen%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DSLATE%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20_N%20-%201%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%20_g_pure_th%20*%20(_N%20-%201)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3Df%22theoretical%20g_pure%3D%7B_g_pure_th%3A.4f%7D%2Fgen%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3DSLATE%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Fan%20Chart%3A%20%7B_n_runs%7D%20runs%20%5Cu00d7%20%7B_N%7D%20generations%2C%20p%3D%7Bp%3A.2f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Generation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Cumulative%20log%20fitness%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D480%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20footer(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%20of%20Key%20Results%0A%0A%20%20%20%201.%20**Arithmetic%20mean%20misleads**%3A%20%24%5Cmathbb%7BE%7D%5BW%5D%24%20is%20linear%20in%20%24x%24%20and%20always%0A%20%20%20%20%20%20%20favors%20pure%20strategies.%20But%20variance%20kills%20%E2%80%94%20a%20single%20catastrophic%20generation%0A%20%20%20%20%20%20%20can%20wipe%20out%20a%20population.%0A%0A%20%20%20%202.%20**Geometric%20mean%20is%20correct**%3A%20Long-run%20growth%20%24g(x)%20%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5B%5Clog%20W%5D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20is%20concave%20and%20can%20favor%20**mixed%20strategies**%20(bet-hedging).%0A%20%20%20%20%20%20%20*(Requires%20i.i.d.%20environments%3B%20autocorrelated%20environments%20change%20the%20analysis.)*%0A%0A%20%20%20%203.%20**Phase%20transition**%3A%20There%20exist%20critical%20thresholds%20%24p%5E-%24%20and%20%24p%5E%2B%24%20such%0A%20%20%20%20%20%20%20that%20bet-hedging%20is%20optimal%20iff%20%24p%5E-%20%3C%20p%20%3C%20p%5E%2B%24.%20The%20transition%20is%20continuous.%0A%20%20%20%20%20%20%20*(Specific%20to%20the%202-phenotype%2C%202-environment%20model.%20Higher-dimensional%20fitness%0A%20%20%20%20%20%20%20landscapes%20can%20have%20richer%20phase%20structure.)*%0A%0A%20%20%20%204.%20**Kelly%20criterion**%3A%20In%20the%20diagonal%20case%20(%24w_%7B12%7D%3Dw_%7B21%7D%3D0%24)%2C%20the%20optimal%0A%20%20%20%20%20%20%20strategy%20is%20%24x%5E*%20%3D%20p%24%20%E2%80%94%20bet%20in%20proportion%20to%20environmental%20frequencies.%0A%20%20%20%20%20%20%20*(The%20diagonal%20case%20means%20mismatch%20is%20fatal.%20With%20partial%20mismatch%20fitness%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%24x%5E*%20%5Cneq%20p%24%20in%20general.)*%0A%0A%20%20%20%205.%20**Information%20has%20fitness%20value**%3A%20An%20environmental%20cue%20worth%20%24I(E%3BC)%24%20bits%0A%20%20%20%20%20%20%20of%20mutual%20information%20increases%20long-run%20fitness%20by%20**at%20most**%20%24I(E%3BC)%24%20nats.%0A%20%20%20%20%20%20%20Equality%20holds%20when%20proportional%20betting%20is%20feasible.%0A%20%20%20%20%20%20%20*(The%20exact%20equality%20%24%5CDelta%20g%20%3D%20I(E%3BC)%24%20again%20requires%20the%20fatal-mismatch%0A%20%20%20%20%20%20%20model.%20In%20the%20general%20case%2C%20%24%5CDelta%20g%20%5Cleq%20I(E%3BC)%24%20is%20still%20an%20upper%20bound.)*%0A%0A%20%20%20%206.%20**Entropy%20tax**%3A%20Environmental%20uncertainty%20costs%20exactly%20%24H(E)%24%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20long-run%20fitness%20(diagonal%20case).%20Information%20reduces%20this%20tax.%0A%20%20%20%20%20%20%20*(Only%20exact%20for%20the%20diagonal%2FKelly%20model.%20With%20non-zero%20off-diagonal%20fitness%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20organisms%20partially%20buffer%20against%20the%20wrong%20environment%2C%20reducing%20the%20cost%0A%20%20%20%20%20%20%20below%20%24H(E)%24.)*%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20What%20this%20model%20doesn't%20capture%0A%0A%20%20%20%20-%20**Autocorrelated%20environments**%20%E2%80%94%20real%20environments%20have%20temporal%20structure%3B%0A%20%20%20%20%20%20organisms%20can%20exploit%20predictability%20beyond%20i.i.d.%20frequency%20matching.%0A%20%20%20%20-%20**Frequency-dependent%20selection**%20%E2%80%94%20fitness%20here%20depends%20only%20on%20the%0A%20%20%20%20%20%20environment%2C%20not%20on%20what%20other%20organisms%20are%20doing.%0A%20%20%20%20-%20**Continuous%20phenotype%20spaces**%20%E2%80%94%20two%20discrete%20phenotypes%20is%20the%20simplest%20case%3B%0A%20%20%20%20%20%20real%20organisms%20have%20high-dimensional%20phenotype%20distributions.%0A%20%20%20%20-%20**Developmental%20constraints**%20%E2%80%94%20the%20model%20assumes%20the%20organism%20can%20tune%20%24x%24%0A%20%20%20%20%20%20freely.%20In%20reality%2C%20stochastic%20switching%20mechanisms%20have%20mechanistic%20constraints.%0A%20%20%20%20-%20**Finite%20population%20effects**%20%E2%80%94%20the%20geometric%20mean%20result%20is%20a%20large-population%0A%20%20%20%20%20%20limit.%20Genetic%20drift%20in%20small%20populations%20adds%20another%20layer%20of%20stochasticity.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20*Built%20with%20%5Bmarimo%5D(https%3A%2F%2Fmarimo.io).%20Model%20from%20Bergstrom%20%26%20Lachmann%20(2004)%2C%0A%20%20%20%20Donaldson-Matasci%2C%20Lachmann%20%26%20Bergstrom%20(2008%2C%202010).%0A%20%20%20%20Written%20with%20Claude.%20Source%3A%20%5Bgithub.com%2FCharlesR-W%2Ffitness-value-of-information%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2FCharlesR-W%2Ffitness-value-of-information)*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A